父が今年の7月に死亡しましたが、父の市・北海道民税はどのようになるのでしょうか。

個人の市・北海道民税は、毎年1月1日（賦課期日）現在に住所のある人に対して、前年中（1月から12月まで）の所得に基づいて、その年度の課税が決定されることになっています。
したがって、年の途中で死亡された人に対しても、前年中の所得に基づいて、その年度の課税が決定されていますので、その年度の市・北海道民税は納めていただかなければなりません。
あなたのお父さんが納めることになっていた今年度分の市・北海道民税については、相続をされた人がその納税義務を引き継ぐことになり、その残りの税額を納めていただくことになります。
なお、今年中に死亡された人に対しては、来年度分の市・北海道民税は課税されませんが、所得税の申告が必要となる場合がありますので、詳しくは税務署へお問い合わせください。