私は、前年10月末に会社を退職して、今は無職です。 ところが、今年6月に、市から納税通知書が送られてきました。 無職ですが、税金を納めるのでしょうか。

個人の市・北海道民税は、前年（1月から12月まで）の所得に基づいて、その翌年度課税するしくみになっています。
あなたの場合は、前年に所得があったので、今年度の市・北海道民税が課税されることになり、今年度分の市・北海道民税は、納めていただくことになります。