3月にA市から室蘭市に引越してきましたが、6月にA市から今年度分の市・北海道民税の納税通知書が送られてきました。 今は室蘭市に住んでいるのに、A市へ納めるのですか。

個人の市・北海道民税を納める人（納税義務者）は、次のとおりです。

あなたの場合、今年の1月1日現在にはA市に住所があるので、今年度分の市・北海道民税は、A市で課税されます。
したがって、A市へ納めることになります。
なお、今年の1月1日までに室蘭市に転入した場合は、今年度分の市・北海道民税は室蘭市で課税されます。